题目内容

如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（-3，0）、B（1，0）两点，与y轴相交于点C（0，
3
）．连接AC、BC．
（1）则抛物线的对称轴为直线
x=-1
x=-1
；抛物线的解析式为
y=-
3
3
x2-
2
3
3
x+
3
y=-
3
3
x2-
2
3
3
x+
3
；
（2）若点M，N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA，BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t时，连接MN，将△BMN沿MN翻折，B恰好落在AC的P，求t值及点P坐标；
（3）抛物线对称轴上是否存在一点F，使得△ACF是等腰三角形？若不存在请说明理由；若存在，请直接写出F点坐标．
分析：（1）A、B是对称点，据此即可求出函数的对称轴，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；
（2）易证四边形BMPN是菱形，则PN平行MB（即x轴），可以得到△CPN∽△CAB，根据相似三角形的对应边的比相等即可求得t的值，以及P的坐标；
（3）当AE=AC时，可以求得AC的长，设抛物线的对称轴与x轴的交点是H，设出F的纵坐标，在直角△AMH中，利用勾股定理即可列方程求得F的坐标；
当CF=CA时，作CG⊥对称轴与点G，设出F的纵坐标，在直角△AGH中，利用勾股定理即可列方程求得F的坐标；
当FA=FC时，F点为AC垂直平分线与对称轴的交点，据此即可求得．
解答：解：（1）（每空（2分），共4分）对称轴为x=-1；
设抛物线的解析式是y=a（x+3）（x-1），
代入C的解析式得：a×3×（-1）=
3
，则a=-
3
3
，
则抛物线的解析式为y=-
3
3
(x+3)(x-1)，
或是y=-
3
3
x2-
2
3
3
x+
3
．
（2）如图1，

∵M、N点的运动速度相同，
∴BM=BN=t，又由翻折可得，NB=NP=t，MB=MP=t，
∴四边形BMPN是菱形，
∴PN平行MB（即x轴），
∴△CPN∽△CAB，
∴
PN
AB
=
CN
CB
，易得AB=4，BC=2，
∴
t
4
=
2-t
2
，解得t=
4
3
，
∴NB=
4
3
，
∴CN=
2
3
，
∴
CN
CB
=
CD
CO
=
DN
OB
，代入可解得CD=
3
3
，DN=
1
3
，
∴OD=
2
3
3
，PD=1，
∴P(-1，
2
3
3
)．
（3）（前2种情况各（2分），最后一种（1分），共5分）

设E点坐标为（-1，a）
①如图2，当AF=AC时，∵AC=2
3
，
∴AF=2
3
，
∴EF=2
2
，
∴F1（-1，2
2
），F2（-1，-2
2
）；
②如图3，当CE=CA时，
∴CF=2
3
，易得CG=1，
∴FG=
11
，
∴EF=
11
-
3
，
∴F3（-1，
3
-
11
），F4（-1，
3
+
11
）；
③如图4，当FA=FC时，F点为AC垂直平分线与对称轴的交点，
则PF5=2PH=2（CH-CP）=2(
3
-
2
3
3
)=
2
3
3
，而PF=OD=
2
3
3
，
所以F5与E点重合，坐标为（-1，0）．
点评：本题考查了二次函数与等腰三角形的综合应用题，正确进行讨论是关键．
练习册系列答案
相关题目
8、如图，直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+c的图象在同一坐标系中可能是（　　）
如图，抛物线y1=-ax2-ax+1经过点P（-
1
2
，
9
8
），且与抛物线y2=ax2-ax-1相交于A，B两点．
（1）求a值；
（2）设y1=-ax2-ax+1与x轴分别交于M，N两点（点M在点N的左边），y2=ax2-ax-1与x轴分别交于E，F两点（点E在点F的左边），观察M，N，E，F四点的坐标，写出一条正确的结论，并通过计算说明；
（3）设A，B两点的横坐标分别记为xA，xB，若在x轴上有一动点Q（x，0），且xA≤x≤xB，过Q作一条垂直于x轴的直线，与两条抛物线分别交于C，D精英家教网两点，试问当x为何值时，线段CD有最大值，其最大值为多少？
如图，抛物线y=-ax2+ax+6a交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B，交y轴正半轴于点D，精英家教网O为坐标原点，抛物线上一点C的横坐标为1．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）求证：四边形ABCD的等腰梯形；
（3）如果∠CAB=∠ADO，求α的值．
已知：如图，抛物线的顶点为点D，与y轴相交于点A，直线y=ax+3与y轴也交于点A，矩形ABCO的顶点B在精英家教网此抛物线上，矩形面积为12，
（1）求该抛物线的对称轴；
（2）⊙P是经过A、B两点的一个动圆，当⊙P与y轴相交，且在y轴上两交点的距离为4时，求圆心P的坐标；
（3）若线段DO与AB交于点E，以点D、A、E为顶点的三角形是否有可能与以点D、O、A为顶点的三角形相似，如果有可能，请求出点D坐标及抛物线解析式；如果不可能，请说明理由．
已知：如图，抛物线y=ax2+ax+c与y轴交于点C（0，-2），精英家教网与x轴交于点A、B，点A的坐标为（-2，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）M是线段OB上一动点，N是线段OC上一动点，且ON=2OM，分别连接MC、MN．当△MNC的面积最大时，求点M、N的坐标；
（3）若平行于x轴的动直线与该抛物线交于点P，与线段AC交于点F，点D的坐标为（-1，0）．问：是否存在直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网