Question

如图，四边形ABCD中，AB=5cm，CB=3cm．∠DAB=∠ACB=90°．AD=CD，过点D作DE⊥AC，垂足为F，DE与AB相交于E点．
（1）求CD的长度；
（2）已知一动点P以2cm/s的速度从点D出发沿射线DE运动，设点P运动的时间为ts，问当t为何值时，△CDP与△ABC相似．

Answer 1

分析：（1）首先利用勾股定理求出AC的长，再根据已知可得到∠BAC=∠ADF和∠DFA=∠ACB，从而利用有两对角对应相等的两三角形相似，得到△DFA∽△ACB，根据相似三角形的对应边成比例及AD=CD即可求出AD的长；
（2）因为∠CDP=∠CAB，所以要使△CDP与△ABC相似，则应有∠DPC或∠DCP=90°，再分别就∠DCP=90°和∠DPC=90°分别讨论求出符合题意的t值即可．

解答：解：（1）∵AB=5cm，CB=3cm，∠ACB=90°，
∴AC=

AB2-BC2

=4cm，
∵AD=CD，DE⊥AC，
∴AF=FC，∠CDF=∠ADF，
∵∠DAC+∠BAC=∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠DAC=∠ABC，
∵∠DAB=∠ACB=90°，
∴△DFA∽△ACB，
∴

AD

AB

=

AF

AC

，
∴

AD

5

=

2

3

，
∴CD=AD=

10

3

cm；

（2）∵∠CDP=∠CAB，
∴所以要使△CDP与△ABC相似，则应有∠DPC或∠DCP=90°，
①当∠DPC=90°时，点P于点F重合，
∴t=

DF

2

=

4

3

（s），
②当∠DCP=90°时，点P于点E重合，
∴t=

DE

2

，
∵F是AC的中点，EF∥BC，
∴AE=EB=

5

2

，EF=

3

2

，
∵DE=DF+EF，
∴DE=

25

6

，
∴t=

DE

2

=

25

2

（s），
综上可知：当t为

4

3

s或

25

12

s时△CDP与△ABC相似．

点评：本题考查了勾股定理的运用、相似三角形的判定和性质以及三角形中位线定理的运用，题目的难点在于分类讨论的数学思想的运用．