Question

如图,在钝角△ABC中,AD⊥BC,垂足为D点,且AD与DC的长度为x²-7x+12=0的两个根(AD<DC),⊙O为△ABC的外接圆,如果BD的长为6,求△ABC的外接圆⊙O的面积.

 

Answer 1

【答案】

【解析】

试题分析：过O作OE⊥AB于E,连接OB, 可得∠AOE=∠AOB,AE=AB,即可得到∠C=∠AOB=∠AOE，解方程x²-7x+12=0可得DC=4,AD=3,根据勾股定理可得AB、AE的长，证得Rt△ADC∽Rt△AEO,根据相似三角形的性质可得AO的长，即可求得结果.

过O作OE⊥AB于E,连接OB,

则∠AOE=∠AOB,AE=AB,

∴∠C=∠AOB="∠AOE."

解方程x²-7x+12=0可得DC=4,AD=3,

故AB=,AE=,

证得Rt△ADC∽Rt△AEO,故,

又AC=="5," AD=3,AE=,

故AO=,

从而S⊙O=.

考点：垂径定理，解一元二次方程，勾股定理，相似三角形的判定和性质

点评：本题综合性强，知识点较多，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.