Question

如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AE=CF，过E，F分别作DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，且AB=CD
（1）△ABF与△CDE全等吗？为什么？
（2）求证：BD平分EF．

Answer 1

分析：（1）求出AF=CE，∠BFA=∠DEC=90°，根据HL证出Rt△ABF≌Rt∠CDE即可；
（2）求出BF=DE，根据AAS证出△BFG≌△DEG即可．

解答：（1）解：△ABF≌△CDE，
理由是：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，
∴AF=CE，
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠BFA=∠DEC=90°，
在Rt△ABF和Rt∠CDE中，

AB=CD AF=CE

，
∴Rt△ABF≌Rt∠CDE（HL）．

（2）证明：∵Rt△ABF≌Rt∠CDE，
∴BF=DE，
在△BFG和△DEG中，

∠BGF=∠DGE ∠BFG=∠DEG BF=DE

，
∴△BFG≌△DEG（AAS），
∴EG=FG，
即BD平分EF．

点评：本题考查了等边三角形的性质，三角形外角性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．全等三角形的对应边相等，对应角相等．