Question

已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（1，3）在反比例函数y=

k

x

的图象上，且sin∠BAC=

3

5

．
（1）求k的值和边AC的长；
（2）求点B的坐标．

Answer 1

分析：（1）本题需先根据C点的坐标在反比例函数y=

k

x

的图象上，从而得出k的值，再根据且sin∠BAC=

3

5

，得出AC的长．
（2）本题需先根据已知条件，得出∠DAC=∠DCB，从而得出CD的长，根据点B的位置即可求出正确答案．

解答：解：（1）∵点C（1，3）在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∴3=

k

1

，解得k=3，
∵sin∠BAC=

3

5

∴sin∠BAC=

3

AC

=

3

5

∴AC=5；
∴k的值和边AC的长分别是：3，5．
（2）①当点B在点A右边时，如图，
作CD⊥x轴于D．
∵△ABC是直角三角形，
∴∠DAC=∠DCB，
又∵sin∠BAC=

3

5

，
∴tan∠DAC=

3

4

，
∴

BD

CD

=

3

4

，
又∵CD=3，
∴BD=

9

4

，
∴OB=1+

9

4

=

13

4

，
∴B（

13

4

，0）；
②当点B在点A左边时，如图，
作CD⊥x轴于D．
∵△ABC是直角三角形，
∴∠B+∠A=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠DAC=∠DCB，
又∵sin∠BAC=

3

5

，
∴tan∠DAC=

3

4

，
∴

BD

CD

=

3

4

，
又∵CD=3，
∴BD=

9

4

，BO=BD-1=

5

4

，
∴B（-

5

4

，0）
∴点B的坐标是（-

5

4

，0），（

13

4

，0）．

点评：本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，要熟练掌握好边角之间的关系是本题的关键．