Question

24、已知⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，点O₁在⊙O₂上，C为⊙O₂上一点（不与A，B，O₁重合），直线CB与⊙O₁交于另一点D．
（1）如图（1），若AD⊙O₁的直径，AC是⊙O₂的直径，求证：AC=CD；
（2）如图（2），若C是⊙O₁外一点，求证：O₁C丄AD；
（3）如图（3），若C是⊙O₁内的一点，判断（2）中的结论足否成立．

Answer 1

分析：（1）连接AB，O₁O₂，得到O₁O₂⊥AB，根据AC是圆O₂的直径，推出∠ABC=90°，得出O₁O₂∥BC，根据三角形的中位线定理推出∠ADC=∠DAC即可得出AC=DC；
（2）根据线段的垂直平分线定理得到C在AD的垂直平分线上、O₁在AD的垂直平分线上，即可得到答案；
（3）根据线段的垂直平分线定理得到C在AD的垂直平分线上、O₁在AD的垂直平分线上，进一步推出结论．

解答：（1）证明：连接AB，O₁O₂，
∵⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，
∴O₁O₂⊥AB，
∵AC是圆O₂的直径，
连接C01
∵AC为⊙O2直径
∴∠AO1C=90°
即CO1⊥AD，
∴AO1=DO1
∴△DQ1C≡△AQ1C
∴DC=AC
（2）证明：由（1）得：AC=DC，
∴C在AD的垂直平分线上，
∵O₁A=O₁D，
∴O₁在AD的垂直平分线上，
∴O₁C⊥AD；

（3）证明：C在弧O₁A上时
廷长O₁C交AD于F点；连接AO₁并廷长交O₁于E点；连接EB，AB
∵AE为直径，所以∠EBA=90°
∴∠O₁EB+∠BAO₁=90°
在O₁中，劣弧AB所对的圆周角相等
∴∠ADB=∠O₁EB
在O₂中，劣弧O₁B所对的圆周角相等
∴∠BAO₁=∠BCO₁
又∵∠BCO₁=∠DCF
∴∠DCF=∠BAO₁
∴∠ADB+∠DCF=∠O₁EB+∠BAO₁=90°
∴∠CFD=90°
∴CO₁⊥AD．

点评：此题主要考查了圆周角定理以及相交两圆的性质，根据相交两圆的连心线垂直平分两圆公共弦，以及垂直平分线的性质是解决问题的关键．