题目内容

证明：四个连续正整数的积与1的和，一定是一个完全平方数．

答案：
解析：

略证：(n－1)n(n＋1)(n＋2)＋1＝(n²＋n－2)(n²＋n)＋1＝(n²＋n)²－2(n²＋n)＋1＝(n²＋n－1)²(其中n为正整数，且n＞1)．

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定位中考三步定位核心大考卷系列答案

　　四个连续自然数的积再加上1一定是一个完全平方数．完全平方数是这样一种数：它可以写成一个正整数的平方．例如：16是4的平方，81是9的平方．

我们看下面的例子：

　　1·2·3·4＋1＝25(＝5²)；2·3·4·5＋1＝121(＝11²)；

　　3·4·5·6＋1＝361(＝19²)；

　　如果我们设四个连续自然数中最小的一个是n，那么这四个连续自然数的积加上1的和可以表示为n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1，它的结果是n²＋3n＋1的平方，因为n为自然数，所以n²＋3n＋1也是一个自然数，即：

　　n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＋1＝(n²＋3n＋1)²．①

　　学到整式的乘法时，我们还可以证明这个等式成立．

　　当n取任意自然数代入①，不仅可以知道n(n＋l)(n＋2)(n＋3)＋1是一个完全平方数，还可以知道它是什么数的平方．

　　你可以算一算：20·21·22·23＋1＝？，50·51·52·53＋1＝？

　　同学们，根据同样的道理，四个连续偶数(或奇数)的积再加上16是一个完全平方数吗？请你试一试．

我们已经知道了一些特殊的勾股数，如三个连续整数中的勾股数：3、4、5；三个连续的偶数中的勾股数6、8、10；由此发现勾股数的正整数倍仍然是勾股数．
（1）如果a、b、c是一组勾股数，即满足a²+b²=c²，求证：ka、kb、kc（k为正整数）也是一组勾股数．
（2）另外利用一些构成勾股数的公式也可以写出许多勾股数，如
①公式a=m²-n²，b=2mn，c=m²+n²（m、n为整数，m＞n，m＞1）
②世界上第一次给出的勾股数的公式，被收集在《九章算术》中 $数学公式$ ，b=mn， $数学公式$ （m、n为正整数，m＞n）
③公元前427-公元前347，由柏拉图提出的公式a=n²-1，b=2n，c=n²+1（n＞1，且n为整数）
④毕达哥拉斯学派提出的公式a=2n+1，b=2n²+2n，c=2n²+2n+1（n为正整数），请你在上述的四个公式中选择一种加以证明，满足公式的a、b、c是一组勾股数
（3）请根据你在（2）中所选的公式写出一组勾股数．

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