Question

求数2003^20022001的末三位数字．

Answer 1

解：因为2003≡3（bmod1000），所以2003^20022001≡3^20022001（bmod1000）．
为解决这个问题，我们首先确定一个正整数n使3ⁿ≡1（bmod1000）．
由二项式定理，得．
上式中前三项后的各项之和能被1000整除．于是设m=2q，则3^4q≡1-20q+100q（2q-1）≡（bmod1000）．①
由1-20q+100q（2q-1）=1000k+1，5q²-3q-25k=0，由十字相乘法易得q=25满足．从而3¹⁰⁰≡1（bmod1000）．
而2002≡2（bmod100），故2002²⁰⁰¹≡2²⁰⁰¹（bmod100）≡2²•2¹⁹⁹⁹（bmod4•25）．
因为2¹⁰=1024≡-1（bmod25），所以2¹⁹⁹⁹=（2¹⁰）¹⁹⁹•2⁹≡（-1）¹⁹⁹•512≡-12≡13（bmod25）．
于是2002²⁰⁰¹≡2²⁰⁰¹≡4•13=52（bmod100），
再由①，得2003^20022001≡3^20022001≡3^100k+52≡3⁵²≡1-20•13+1300•25≡241（bmod1000）．
因此数2003^20022001的末三位数字是241．
分析：可将求数2003^20022001的末三位数字转化为求数3^20022001的末三位数字的问题，得2003^20022001≡3^20022001≡3^100k+52≡3⁵²≡1-20•13+1300•25≡241（bmod1000）．从而得出结论．
点评：本题考查了规律型：数字的变化，将数2003^20022001的末三位数字转化为求数3^20022001的末三位数字是解题的关键，有一定的难度，该题超过大纲的范围．