Question

如图，EFGH是正方形ABCD的内接四边形，两条对角线EG和FH相交于点O，且它们所夹的锐角为θ，∠BEG与∠CFH都是锐角，已知EG=k，FH=l，四边形EFGH的面积为S，
（1）求证：sinθ=

2S

kl

；
（2）试用k、l、S来表示正方形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）根据图形知，S=S_△EFG+S_△EHG=S_△EOF+S_△GOF+S_△EOH+S_△GOH，然后由面积公式S=

1

2

absinC证明结论即可；
（2）过E、F、G、H分别作AB、BC、CD、DA的垂线，构造矩形PQRT．利用勾股定理求的正方形ABCD的边长，然后由S_△AEH=S_△TEH，S_△BEF=S_△PEF，S_△GFC=S_△QFG，S_△DGH=S_△RGH推知（k²+l²-4S）a²=k²l²-4S²，最后根据（1）的结论来判定k²l²-4S²，的取值范围，从而用k、l、S来表示正方形ABCD的面积．

解答：（1）证明：S=S_△EFG+S_△EHG，
=S_△EOF+S_△GOF+S_△EOH+S_△GOH，
=

1

2

EO•0F•sinθ+

1

2

GO•0F•sin(180°-θ)
+

1

2

EO•OH•sin(180°-θ)+

1

2

GO•OH•sinθ
=

1

2

EG•OF•sinθ+

1

2

EG•OH•sinθ
=

1

2

EG•FH•sinθ=

1

2

kl•sinθ
所以sinθ=

2S

kl

；

（2）解：过E、F、G、H分别作AB、BC、CD、DA的垂线，得矩形PQRT．
设正方形ABCD的边长为a，PQ=b，QR=c，
则b=

k2 -a2

， c=

l2 -a2

，
由S_△AEH=S_△TEH，
S_△BEF=S_△PEF，S_△GFC=S_△QFG，S_△DGH=S_△RGH
得S_ABCD+S_PQRT=2S，
∴a2+bc=2S， 即a2+

k2-a2

•

l2-a2

=2S，
∴（k²+l²-4S）a²=k²l²-4S²，
由（1）知kl=

2S

sinθ

＞2S， 所以k2+l2≥2kl＞4S，
故SABCD=a2=

k2l2-4S2

k2+l2-4S

．

点评：本题主要考查了三角形的面积、正方形的性质及正、余弦定理．此题难度较大，在解题时需灵活运用正、余弦定理．