Question

如图，在直角坐标系xOy中，Rt△OAB和Rt△OCD的直角顶点A，C始终在x轴的正半轴上，B，D在第一象限内，点B在直线OD上方，OC=CD，OD=2，M为OD的中点，AB与OD相交于E，当点B位置变化时，Rt△OAB的面积恒为

1

2

．
试解决下列问题：
（1）点D坐标为（　　）；
（2）设点B横坐标为t，请把BD长表示成关于t的函数关系式，并化简；
（3）等式BO=BD能否成立？为什么？
（4）设CM与AB相交于F，当△BDE为直角三角形时，判断四边形BDCF的形状，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）在Rt△OCD中，根据勾股定理易求OC=CD=

2

．
（2）根据Rt△OAB的面积是

1

2

可求出B点的坐标，因为BD²=AC²+（AB-CD）²，所以把B点的坐标代入可得BD长，即可表示成关于t的函数关系式．
（3）假设OB=BD，在Rt△OAB中，用t把OB表示出来，根据题（2）中用t表示的BD．两者相等，可得一二次函数表达式，用根的判别式判断是否有解．
（4）两种情况，先假设∠EBD=90°时（如图2），此时F、E、M三点重合，根据已知条件此时四边形BDCF为直角梯形，然后假设∠EDB=90°时（如图3），根据已知条件，此时四边形BDCF为平行四边形，在Rt△OCD中，OB²=OD²+BD²，用t把各线段表示出来代入，可求出BD=CD=

2

，即此时四边形BDCF为菱形．

解答：解：（1）D（

2

，

2

）；（1分）

（2）由Rt△OAB的面积为

1

2

，得B（t，

1

t

），
∵BD²=AC²+（AB-CD）²，
∴BD²=（

2

-t）²+（

1

t

-

2

）²=t²+

1

t2

-2

2

（t+

1

t

）+4①
=(t+

1

t

)2-2

2

(t+

1

t

)+2=(t+

1

t

-

2

)2，
∴BD=|t+

1

t

-

2

|=t+

1

t

-

2

②；

（3）解法一：若OB=BD，则OB²=BD²．
在Rt△OAB中，OB²=OA²+AB²=t²+

1

t2

．
由①得t²+

1

t2

=t2+

1

t2

-2

2

(t+

1

t

)+4．
解得：t+

1

t

=

2

，∴t²-

2

t+1=0，
∵△=(

2

)2-4=-2＜0，∴此方程无解．
∴OB≠BD．

解法二：若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上．
∵C(

2

，0)，在等腰Rt△OCM中，可求得M(

2

2

，

2

2

)，
∴直线CM的函数关系式为y=-x+

2

，③
由Rt△OAB的面积为

1

2

，得B点坐标满足函数关系式y=

1

x

．④
联立③，④得：x²-

2

x+1=0，
∵△=(

2

)2-4=-2＜0，∴此方程无解，
∴OB≠BD．

解法三：若OB=BD，则B点在OD的中垂线CM上，如图1
过点B作BG⊥y轴于G，CM交y轴于H，
∵S_△OBG=S_△OAB=

1

2

，
而S_△OMH=S_△MOC=

1

2

S△DOC=

1

2

×

2

×

2

×

1

2

=

1

2

，（5分）
显然与S_△HMO与S_△OBG矛盾．
∴OB≠BD．

（4）如果△BDE为直角三角形，因为∠BED=45°，
①当∠EBD=90°时，此时F，E，M三点重合，如图2
∵BF⊥x轴，DC⊥x轴，∴BF∥DC．
∴此时四边形BDCF为直角梯形．

②当∠EDB=90°时，如图3
∵CF⊥OD，
∴BD∥CF．
又AB⊥x轴，DC⊥x轴，
∴BF∥DC．
∴此时四边形BDCF为平行四边形．
下证平行四边形BDCF为菱形：

解法一：在△BDO中，OB²=OD²+BD²，
∴t²+

1

t2

=4+t2+

1

t2

-2

2

(t+

1

t

)+4，
∴t+

1

t

=2

2

，
[方法①]t²-2

2

t+1=0，∵BD在OD上方
解得：t=

2

-1，

1

t

=

2

+1或t=

2

+1，

1

t

=

2

-1（舍去）．
得B(

2

-1，

2

+1)，
[方法②]由②得：BD=t+

1

t

-

2

=2

2

-

2

=

2

，
此时BD=CD=

2

，
∴此时四边形BDCF为菱形（9分）

解法二：在等腰Rt△OAE与等腰Rt△EDB中
∵OA=AE=t，OE=

2

t，则ED=BD=2-

2

t，
∴AB=AE+BE=t+

2

（2-

2

t）=2

2

-t，
∴2

2

-t=

1

t

，即t+

1

t

=2

2

以下同解法一，
此时BD=CD=

2

，
∴此时四边形BDCF为菱形．（9分）

点评：此题考查了一次函数解析式的确定、根的判别式、三角形面积的求法、菱形的判定以及勾股定理的应用等知识，综合性强，难度较大．