Question

如图已知：直线y＝－x＋3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax²＋bx＋c经过A、B、C(1，0)三点．

(1)求抛物线的解析式；

(2)若点D的坐标为(－1，0)，在直线y＝－x＋3上有一点P，使△ABO与△ADP相似，求出点P的坐标；

(3)在(2)的条件下，在x轴下方的抛物线上，是否存在点E，使△ADE的面积等于四边形APCE的面积？如果存在，请求出点E的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解(1)：由题意得，A(3，0)，B(0，3) 　　∵抛物线经过A、B、C三点，∴把A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)三点分别代入得方程组 　　；3分 　　解得： 　　∴抛物线的解析式为 　　；5分 　　(2)由题意可得：△ABO为等腰三角形，如图所示， 　　若△ABO∽△AP1D，则 　　∴DP1＝AD＝4， 　　∴P1；7分 　　若△ABO∽△ADP2，过点P2作P2M⊥x轴于M，AD＝4， 　　∵△ABO为等腰三角形，∴△ADP2是等腰三角形，由三线合一可得：DM＝AM＝2＝P2M，即点M与点C重合∴P2(1，2)；10分 　　(3)如图设点E，则 　　 　　①当P1(－1，4)时， 　　S四边形AP1CE＝S三角形ACP1＋S三角形ACE 　　 　　＝；11分 　　∴ 　　∴ 　　∵点E在x轴下方 　　∴ 　　代入得：，即 　　∵△＝(－4)2－4×7＝－12＜0 　　∴此方程无解；12分 　　②当P2(1，2)时，S四边形AP2CE＝S三角形ACP2＋S三角形ACE＝ 　　∴；∴ 　　∵点E在x轴下方；∴代入得： 　　即，∵△＝(－4)2－4×5＝－4＜0 　　∴此方程无解 　　综上所述，在x轴下方的抛物线上不存在这样的点E；14分