Question

△ABC中，∠C＝90°，点D在边AB上，AD＝AC＝7，BD＝BC．动点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，同时，动点N从点D出发，以每秒2个单位的速度沿DA向点A运动．当一个点到达点A时，点M、N两点同时停止运动．设M、N运动的时间为t秒．

⑴ 求cosA的值．

⑵ 当以MN为直径的圆与△ABC一边相切时，求t的值．

Answer 1

解：⑴ 设BC＝4m，AC＝x，则BD＝2m，AD＝x

-- ∵　　　∴　16＋＝

-- 解之得　x＝3m

-- 从而AB＝5m

-- 因此cosA＝　

⑵ CM＝t，AM＝7－t，DN＝2t，AN＝7－2t，其中0≤t≤3.5

-- 记以MN为直径的圆为⊙O，当⊙O与AB相切时，则MN⊥AB，
因此，t＝2，符合题意； 

-- 当⊙O与AC相切时，则MN⊥AC，因此，t＝－14，舍去；6分

-- 当⊙O与BC相切时，

-- 如图，作NE⊥BC，垂足为E．取EC的中点F，连结OF，则OF⊥BC，即点F为⊙O与BC相切的切点．连结MF，NF，则FM⊥FN，因此△FCM∽△NEF．

-- 因此CM·EN＝

-- 而CM＝t，EN＝，
EF＝FC＝EC＝

-- 因此，整理得

-- 解之得　t＝1，t＝－14（舍去）  --------------------------------- 综上所得，当以MN为直径的圆与△ABC一边相切时，t＝1或t＝2．  ----------------------------------  10分