题目内容

梯形的两条对角线互相垂直，其中一条对角线的长是5cm，梯形的高等于4cm，那么梯形的面积是________．

$\text{[math]}$
分析：首先根据题意作图，然后过点D作DF∥AC交BC的延长线于F，即可得DF⊥BD，四边形ACFD是平行四边形，然后根据勾股定理与射影定理，即可求得BF的长，继而求得梯形的面积．
解答：

解：根据题意得：AD∥BC，BD⊥AC，DE⊥BC，BD=5cm，DE=4cm，
过点D作DF∥AC交BC的延长线于F，
∴DF⊥BD，四边形ACFD是平行四边形，
∴AD=CF，
∴BE= $\text{[math]}$ =3，
∵BD²=BE•BF，
∴BF= $\text{[math]}$ ，
∴梯形的面积是： $\text{[math]}$ （AD+BC）•DE= $\text{[math]}$ （CF+BC）•DE= $\text{[math]}$ BF•DE= $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ ×4= $\text{[math]}$ ．
故答案为： $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查了梯形的性质，勾股定理与射影定理等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．