题目内容
如图，抛物线
交
轴于点
，交
轴于点
，已知经过点
的直线的表达式为
．
（1）求抛物线的函数表达式及其顶点
的坐标；
（2）如图①，点
是线段
上的一个动点，其中
，作直线
轴，交直线
于
，交抛物线于
，作
∥
轴，交直线
于点
，四边形
为矩形．设矩形
的周长为
，写出
与
的函数关系式，并求为何值时周长
最大；
（3）如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点
，使点
构成的三角形是以
为腰的等腰三角形．若存在，直接写出所有符合条件的点
的坐标；若不存在，请说明理由．
图① 图②
（1）抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，顶点C坐标为（-1,4）；
（2）L=-4m2-12m=-4（m+
）2+9；
当m=-时，最大值L=9；
（3）点Q的坐标为（-1，
），（-1，-），（-1，3+
），（-1，3-
）．
【解析】
试题分析：（1）由直线经过A、B两点可求得这两点的坐标，然后代入二次函数解析式即可求出b、c的值，从而得到解析式，进而得到顶点的坐标；
（2）由题意可表示出D、E的坐标，从而得到DE的长，由已知条件可得DE=EF，从而可表示出矩形DEFG的周长L，利用二次函数的性质可求得最大值；
（3）分别以点A、点B为圆心，以AB长为半径画圆，圆与对称轴的交点即为所求的点．
试题解析：（1）直线y=x+3与x轴相交于A（-3,0 ），与y轴相交于B（0,3）
抛物线y=-x2+bx+c经过A（-3,0 ），B（0,3），所以，
,
∴
，
所以抛物线的表达式为y=-x2-2x+3，
∵y=-x2-2x+3=-（x+1）2+4,
所以，顶点坐标为C（-1,4）．
（2）因为D在直线y=x+3上，∴D（m,m+3）．
因为E在抛物线上，∴E（m，-m2-2m+3）．
DE=-m2-2m+3-（m+3）=-m2-3m．
由题意可知，AO=BO,
∴∠DAP=∠ADP=∠EDF=∠EFD=45°，
∴DE=EF．
L=4DE=-4m2-12m．
L=-4m2-12m=-4（m+）2+9．
∵a=-4<0,
∴二次函数有最大值
当m=-时，最大值L=9．
（3）点Q的坐标为（-1，），（-1，-），（-1，3+），（-1，3-）．
考点：1、待定系数法；2、正方形的判定；3、二次函数的性质的应用；4、等腰三角形．
