Question

在△ABC中，D、E、F分别是AB、AC、BC的中点：
求证：（1）DE∥BC且DE=

1

2

BC；
（2）若△ABC面积为S，求证：S_△DEF=

1

4

S．

Answer 1

分析：（1）根据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，可得

AD

AB

=

AE

AC

=

1

2

，利用∠A为公共角，即可证明△ADE∽△ABC，可得DE=

1

2

BC，再根据同位角相等即可证明DE∥BC，
（2）根据D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，可得EF，DE．EF，分别是三角形ABC的中位线，可证△DEF∽△ABC，再利用相似三角形面积的比是相似比的平方即可证明．

解答：解：（1）∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点：
∴AD=DB，AE=EC，
∴

AD

AB

=

AE

AC

=

1

2

，
∠A为公共角，
∴△ADE∽△ABC，
∴∠ADE=∠ABC，
∴DE∥BC，∴

DE

BC

=

AD

AB

=

1

2

；

（2）∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，

DE

BC

=

DF

AC

=

EF

AB

=

1

2

；
∴△DEF∽△ABC，
∴

S△DEF

S△ABC

=(

DE

BC

)2=

1

4

．

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理的理解和掌握，难度不大，是一道基础题．