Question

已知方程x²-6x-4n²-32n=0的根都是整数．求整数n的值．

Answer 1

分析：利用求根公式求得x的值，让根的判别式为一个完全平方数，进而整理为两个因式的积为一个常数的形式，判断整数解即可．

解答：解：原方程解得：

x= 6± 36+4(4n2+32n) 2 = 6± 4×4n2+4×32n+4×9 2 = 6±2 4n2+32n+9 2 =3± 4n2+32n+9

因为方程的根是整数，所以4n²+32n+9是完全平方数．
设4n²+32n+9=m²（m≠0且为整数）
（2n+8）²-55=m²
（2n+8+m）（2n+8-m）=55，
因55=1×55=（-1）×（-55）=（-5）×（-11）=5×11，
∴

2n+8+m=55 2n+8-m=1

2n+8+m=11 2n+8-m=5

2n+8+m=-1 2n+8-m=-55

2n+8+m=-5 2n+8-m=-11

，
解得：n=10、0、-8、-18．

点评：考查二次方程中系数的求法；一元二次方程的根均为整数，那么根的判别式为完全平方数；注意两数的积为一个正数，那么这两个数同为正数或同为负数．