Question

阅读下列材料，并回答问题：∵

1

1×3

=

1

2

(1-

1

3

)，

1

3×5

=

1

2

(

1

3

-

1

5

)，

1

5×7

=

1

2

(

1

5

-

1

7

)，…
∴

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

19×21

=

1

2

(1-

1

3

)+

1

2

(

1

3

-

1

5

)+

1

2

(

1

5

-

1

7

)+…+

1

2

(

1

19

-

1

21

)
=

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

19

-

1

21

)
=

1

2

(1-

1

21

)
=

10

21

（1）

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

99×101

=

 

 
（2）利用类似方法，可求得：

1

1×4

+

1

4×7

+

1

7×10

+…+

1

19×22

=

 

（3）受以上启发，请你解下列方程：

1

x(x+3)

+

1

(x+3)(x+6)

+

1

(x+6)(x+9)

=

3

x+9

．

Answer 1

分析：（1）根据上面的规律，将原式展开，再进行计算即可；
（2）由已知得

1

1×4

=

1

3

（1-

1

4

），依此类推，可得出

1

19×22

=

1

3

（

1

19

-

1

22

），再将原式展开计算即可；
（3）由上面的规律将原方程变形为

1

3

（

1

x

-

1

x+3

+

1

x+3

-

1

x+6

+

1

x+6

-

1

x+9

）=3×

1

x+9

．

解答：解：（1）原式=

1

2

（1-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+…+

1

2

（

1

99

-

1

101

）
=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

99

-

1

101

）
=

1

2

（1-

1

101

）
=

1

2

×

100

101

=

50

101

；

（2）原式=

1

3

（1-

1

4

）+

1

3

（

1

4

-

1

7

）+…+

1

3

（

1

19

-

1

22

）
=

1

3

（1-

1

4

+

1

4

-

1

7

+…+

1

19

-

1

22

）
=

1

3

（1-

1

22

）
=

1

3

×

21

22

=

7

22

；

（3）原式可化为

1

3

（

1

x

-

1

x+3

+

1

x+3

-

1

x+6

+

1

x+6

-

1

x+9

）=3×

1

x+9

，
即

1

3

（

1

x

-

1

x+9

）=

3

x+9

，
解得x=1，
检验：把x=1代入x（x+9）=10≠0．
∴原方程的解为：x=1．

点评：本题考查了解分式方程，先找出规律，在将方程整理是解此题的关键，注意分式方程要验根．