Question

如图，AB为⊙O的直径，AB=4，点C在⊙O上，CF⊥OC，且CF=BF.

1.证明BF是⊙O的切线;

2.设AC与BF的延长线交于点M，若MC=6，求∠MCF的大小.

 

Answer 1

 

1.见解析。

2.30°

解析:证明：连接OF.

（1） ∵ CF⊥OC,

∴ ∠FCO=90°.

∵ OC=OB，

∴ ∠BCO=∠CBO.

∵ FC=FB，

∴ ∠FCB=∠FBC.                                        

∴ ∠BCO+∠FCB =∠CBO+∠FBC.

即 ∠FBO=∠FCO=90°.

∴ OB⊥BF.

∵ OB是⊙O的半径,

∴ BF是⊙O的切线.

（2）∵ ∠FBO=∠FCO=90°，

∴ ∠MCF+∠ACO =90°，∠M+∠A =90°.

∵ OA=OC，

∴ ∠ACO=∠A.

∴ ∠FCM=∠M.                                      

易证△ACB∽△ABM,

∴ .

∵ AB=4，MC=6，

∴ AC=2.   

∴ AM=8，BM==.

∴cos∠MCF = cosM ==.

∴ ∠MCF=30°.