Question

已知二次函数y=﹣x²+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，直线AC解析式为y=kx+4，
（1）求二次函数解析式；
（2）若=，求k；
（3）若以BC为直径的圆经过原点，求k．

Answer 1

（1）二次函数解析式:y=﹣x²+4x．
（2）k=﹣1．
（3）k=﹣．

试题分析：（1）根据对称轴为x==2，且函数过（0，0），则可得出b，c，从而得到函数解析式．
（2）=，而且这两个三角形为同高不同底的三角形，易得=，考虑计算方便可作B，C对x轴的垂线，进而有B，C横坐标的比为=．由B，C为直线与二次函数的交点，则联立可求得B，C坐标．由上述倍数关系，则k易得．
（3）以BC为直径的圆经过原点，易得∠BOC=90°，由（2）可发现B，C横纵坐标恰好可表示出EB，EO，OF，OC．而由∠BOC=90°，易证△EBO∽△FOC，即EB•FC=EO•FO．由此构造方程即可得k值．
试题解析： （1）∵二次函数y=﹣x²+bx+c的对称轴为x=2，且经过原点，
∴﹣=2，0=0+0+c，
∴b=4，c=0，
∴y=﹣x²+4x．
（2）如图1，连接OB，OC，过点B作BE⊥y轴于E，过点C作CF⊥y轴于F，

∵=，
∴=，
∴=，
∵EB//FC，
∴==．
∵y=kx+4交y=﹣x²+4x于B，C，
∴kx+4=﹣x²+4x，即x²+（k﹣4）x+4=0，
∴△=（k﹣4）²﹣4•4=k²﹣8k，
∴x=，或x=，
∵x_B＜x_C，
∴EB=x_B=，FC=x_C=，
∴4•=，
解得 k=9（交点不在y轴右边，不符题意，舍去）或k=﹣1．
∴k=﹣1．
（3）∵∠BOC=90°，
∴∠EOB+∠FOC=90°，
∵∠EOB+∠EBO=90°，
∴∠EBO=∠FOC，
∵∠BEO=∠OFC=90°，
∴△EBO∽△FOC，
∴，
∴EB•FC=EO•FO．
∵x_B=，x_C=，且B、C过y=kx+4，
∴y_B=k•+4，y_C=k•+4，
∴EO=y_B=k•+4，OF=﹣y_C=﹣k•﹣4，
∴•=（k•+4）•（﹣k•﹣4），
整理得 16k=﹣20，
∴k=﹣．