Question

如图，已知抛物线y=-

1

2

x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C且AB=6，抛物线的对称轴为直线x=1
（1）抛物线的解析式；
（2）x轴上A点的左侧有一点E，满足S_△ECO=4S_△ACO，求直线EC的解析式．

Answer 1

分析：（1）已知了抛物线的对称轴以及AB的长，即可得到A、B的坐标，代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值；
（2）由于三角形ECO和三角形ACO的高都为OC，根据等高三角形的面积比等于底边比可知：OE：OA=4：1，据此可求出E点坐标，然后根据E、C坐标可用待定系数法求出直线EC的解析式．

解答：解：
（1）∵对称轴为x=1
∴-

b

2a

=1，a=-

1

2

∴b=1
∵AB=6
∴A（-2，0）B（4，0）
∴B（4，0）代入解析式得c=4
∴抛物线的解析式为：y=-

1

2

x²+x+4

（2）S_△ECO=

1

2

EO•OC，S_△ACO=

1

2

AO•OC
∵S_△ECO=4S_△ACO
∴EO=4AO=8
∴E（-8，0）
由抛物线的解析式C（0，4）
设直线EC的解析式为：y=kx+b
将E（-8，0）C（0，4）
代入上式解得

k= 1 2 b=4

∴直线EC的解析式为y=

1

2

x+4．

点评：本题主要考查一次函数与二次函数解析式的确定以及图形面积的求法等知识．