题目内容

如图，已知等边三角形ABC的边长为1，E、F、G分别是AB、BC、CA上的点，且AE=BF=CG，当△EFG的面积恰好为△ABC面积的一半时，AE的长为

A.
$数学公式$
B.
$数学公式$
C.
$数学公式$ 或 $数学公式$
D.
$数学公式$ 或 $数学公式$

D
分析：可证明三个三角形AEG、BFE、CGF全等，则三角形ABC相似于三角形EFG，根据相似三角形的性质，面积之比等于相似比的平方，即可得出三角形EFG边长，再设AE=x，则AG=1-x，过G点作AE边上的高GH，利用勾股定理求出x即可．
解答：

解：∵AE=BF=CG，AB=AC=BC，∴AG=BE=CF，
∵∠A=∠B=∠C，∴△AEG≌△BFE≌△CGF，
∴EF=FG=EG，∴△ABC∽△EFG，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵△EFG的面积恰好为△ABC面积的一半，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵AB=1，∴EF= $\text{[math]}$ ，
设AE=x，则AG=1-x，过G点作AE边上的高GH，
∴∠AGH=30°，AH= $\text{[math]}$ （1-x），EH= $\text{[math]}$ ，
∴由勾股定理得HG²=AG²-AH²=EG²-EH²，
即（1-x）²-[ $\text{[math]}$ （1-x）]²=（ $\text{[math]}$ ）²-（ $\text{[math]}$ x- $\text{[math]}$ ）²，
解得x= $\text{[math]}$ ．
故选D．
点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，难度偏大．