Question

如图，△ABC与△DEA是两个全等的等腰三角形，∠BAC=∠D=90°，BC分别与AD、AE相交于点F、G，BF≠CG．
（1）图中有那几对不全等的相似三角形，请把他们表示出来．
（2）根据甲、乙两位同学对图形的探索，试探究BF、FG、GC之间的关系，并证明．
甲同学：把△ABF、△AGC分别沿AD、AE折叠，发现：B、C两点重合．
乙同学：把△ABF绕点A旋转，使AB、AC重合，发现：构造出了直角．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根据相似三角形判定定理找出所有不全等的相似三角形的个数；
（2）方法（一）把△ABF、△AGC分别沿AD、AE折叠，利用三角形全等的知识证明∠FPG=∠B+∠C=90°，进而可以证明BF、FG、GC之间的关系；
方法（二）标出∠1、∠2、∠3、∠4，把△ABF旋转至△ACP，得△ABF≌△ACP，再利用三角形全等的知识证明∠ACP+∠ACB=90°，进而可以证明BF、FG、GC之间的关系；
解答：解：（1）共有3对，
△GAF∽△GAB；
△FAC∽△FGA；
△ABG∽△FAC；

（2）证明方法（一）
如图1，把△ABF、△AGC分别沿AD、AE折叠，
得△ABF≌△APF，△ACG≌△APG，B、C两点重合，
BF=FP，CG=GP，
∠FPG=∠B+∠C=90°，
在RT△PFG中，GF²=BF²+GC²；


证明方法（二）把△ABF旋转至△ACP，得△ABF≌△ACP，
∠1=∠4，AF=AP，CP=BF，∠ACP=∠B，
∠1+∠3=45°，
∠4+∠3=45°，
∠2=∠4+∠3=45°，
AG=AG，
△AFG≌△AGP，FG=GP，
∠ACP+∠ACB=90°，
在RT△PGG中，GF²=CG²+CP²，
GF²=BF²+GC²．
点评：本题主要考查几何变换综合题，解答本题的关键是熟练掌握旋转知识，全等三角形的证明，此类题也是中考经常涉及的考题类型，此题难度不大．