Question

菱形ABCD中，∠B=60°，延长BC到E，使得CE=BC，连接DE．
（1）如图1，M是BC的中点，线段AM和ME之间的数量关系为

AM=

3

3

ME

．
（2）如图2，P是直线AB上的任意一点，M是CP的中点，过点M作MF⊥AM交DE于点F，探究线段AM与MF之间的数量关系，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）如图1，连接AC．先证明△ABC是等边三角形，得出AB=BC=AC，再根据等腰三角形三线合一的性质得出AM⊥BC，然后在Rt△ABM中，由正弦函数的定义得出AM=

3

2

AB，又AB=

2

3

ME，代入得出AM=

3

3

ME；
（2）如图2，延长AM、DC，交于点Q，连接AC，在DE上截取DF′=CQ，连接AF′、QF′，先利用SAS证明△ADF′≌△ACQ，得出AF′=AQ，∠DAF′=∠CAQ，进而得到△AF′Q是等边三角形，再利用AAS证明△PAM≌△CQM，再证明△AQF是等边三角形，然后在Rt△AMF中，由正切函数的定义得出AM=

3

3

ME．

解答：解：（1）如图1，连接AC．
∵菱形ABCD中，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，AB=BC=AC，
∵M是BC的中点，
∴AM⊥BC，
∴AM=ABsin∠B=

3

2

AB．
∵ME=MC+CE=

1

2

BC+BC=

3

2

BC=

3

2

AB，
∴AB=

2

3

ME，
∴AM=

3

2

×

2

3

ME=

3

3

ME，即AM=

3

3

ME；

（2）如图2，延长AM、DC，交于点Q，连接AC，在DE上截取DF′=CQ，连接AF′、QF′．
∵CE=BC=CD，∠DCE=∠B=60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠E=60°．
在△ADF′与△ACQ中，

AD=AC ∠ADF′=∠ACQ=120° DF′=CQ

，
∴△ADF′≌△ACQ，
∴AF′=AQ，∠DAF′=∠CAQ．
∵∠F′AQ=∠F′AC+∠CAQ=∠F′AC+∠DAF′=∠DAC=60°，
∴△AF′Q是等边三角形．
∵AB∥DQ，
∴∠PAM=∠CQM，∠APM=∠QCM．
在△PAM与△CQM中，

∠PAM=∠CQM ∠APM=∠QCM PM=CM

，
∴△PAM≌△CQM，
∴AM=QM，
∵AF′=QF′，
∴MF′⊥AM，
∵MF⊥AM，
∴F与F′重合，
∴△AQF是等边三角形，
∴

AM

MF

=tan∠AFM=tan30°=

3

3

，
∴AM=

3

3

MF．
故答案为AM=

3

3

ME．

点评：此题主要考查了菱形的性质，等边三角形、相似三角形、全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，垂线的性质，综合性较强，有一定难度．（2）中准确作出辅助线，证明出△AQF是等边三角形是解题的关键．