题目内容
在□ABCD中，∠A =∠DBC, 过点D作DE=DF, 且∠EDF=∠ABD , 连接EF、 EC,
N、P分别为EC、BC的中点，连接NP．
（1）如图1，若点E在DP上, EF与DC交于点M, 试探究线段NP与线段NM的数量关系及∠ABD与∠MNP满足的等量关系，请直接写出你的结论；
（2）如图2，若点M在线段EF上, 当点M在何位置时，你在（1）中得到的结论仍然成立，写出你确定的点M的位置，并证明（1）中的结论.
解:（1） NP=MN, ∠ABD +∠MNP =180° (或其它变式及文字叙述,各1分).
（2）点M是线段EF的中点(或其它等价写法).
证明：如图, 分别连接BE、CF.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD∥BC，AB∥DC，∠A=∠DCB，
∴∠ABD=∠BDC.
∵ ∠A=∠DBC，
∴ ∠DBC=∠DCB.
∴ DB=DC. ①
∵∠EDF =∠ABD,
∴∠EDF =∠BDC.
∴∠BDC-∠EDC =∠EDF-∠EDC .
即∠BDE =∠CDF. ②
又 DE=DF， ③
由①②③得△BDE≌△CDF. 分
∴ EB=FC, ∠1=∠2.
∵ N、P分别为EC、BC的中点，
∴NP∥EB, NP=
.
同理可得 MN∥FC，MN=
.
∴ NP = NM.
∵ NP∥EB,
∴∠NPC=∠4.
∴∠ENP=∠NCP+∠NPC=∠NCP+∠4.
∵MN∥FC，
∴∠MNE=∠FCE=∠3+∠2=∠3+∠1.
∴ ∠MNP=∠MNE+∠ENP=∠3+∠1+∠NCP+∠4
=∠DBC+∠DCB=180°-∠BDC=180°-∠ABD.
∴ ∠ABD +∠MNP =180°. 
每日10分钟口算心算速算天天练系列答案
如图，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD．
如图，在?ABCD中，EF∥AB，MN∥BC，MN与EF交于点O，且O点在对角线上，图中面积相等的四边形有（ ）
如图，在?ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE=CF．