题目内容
如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，点M是AB上的动点（不与A，B重合），过点M作MN∥BC交AC
于点N．以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMPN，令AM=x．（1）用含x的代数式表示△MNP的面积S；
（2）当x为何值时，⊙O与直线BC相切？
分析：（1）由△AMN∽△ABC得出AN，又S△AMN=S△MNP，求得△AMN的面积即可．
（2）设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，并过点M作MQ⊥BC于Q，由（1）中△AMN∽△ABC得
=
，则求得MN、OD，再证△BMQ∽△BCA，得
=
，代入求得x的值．
（2）设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，并过点M作MQ⊥BC于Q，由（1）中△AMN∽△ABC得
| AM |
| AB |
| MN |
| BC |
| BM |
| BC |
| QM |
| AC |
解答：解：（1）∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．
∴△AMN∽△ABC．
∴
=
，即
=
．
∴AN=
x．
∴S=S△MNP=S△AMN=
•
x•x=
x2．（0＜x＜4）
（2）如图，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD．
AO=OD=
MN．
在Rt△ABC中，BC=
=5．
由（1）知△AMN∽△ABC．
∴
=
，即
=
．
∴MN=
x．
∴OD=
x．
过点M作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=
x．
在Rt△BMQ与Rt△BAC中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA．
∴
=
，即
=
．
解得BM=
x．
AB=BM+AM=
x+x=4．
解得x=
，即当x=
时，⊙O与BC相切．
∴∠AMN=∠B，∠ANM=∠C．
∴△AMN∽△ABC．
∴
| AM |
| AB |
| AN |
| AC |
| x |
| 4 |
| AN |
| 3 |
∴AN=
| 3 |
| 4 |
∴S=S△MNP=S△AMN=
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 8 |
（2）如图，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD．
AO=OD=
| 1 |
| 2 |
在Rt△ABC中，BC=
| AB2+AC2 |
由（1）知△AMN∽△ABC．
∴
| AM |
| AB |
| MN |
| BC |
| x |
| 4 |
| MN |
| 5 |
∴MN=
| 5 |
| 4 |
∴OD=
| 5 |
| 8 |
过点M作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=
| 5 |
| 8 |
在Rt△BMQ与Rt△BAC中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA．
∴
| BM |
| BC |
| QM |
| AC |
| BM |
| 5 |
| ||
| 3 |
解得BM=
| 25 |
| 24 |
AB=BM+AM=
| 25 |
| 24 |
解得x=
| 96 |
| 49 |
| 96 |
| 49 |
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质及切线的性质，综合性较强，难度较大．
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