Question

如图，已知直线过点和，是轴正半轴上的动点，的垂直平分线交于点，交轴于点．

（1）直接写出直线的解析式；

（2）设，的面积为，求关于t的函数关系式；并求出当时，的最大值；

（3）直线过点且与轴平行，问在上是否存在点， 使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出点C的坐标，并证明；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）

（2）∵，∴点的横坐标为，

①当，即时，，

∴．

②当时，，

∴．

∴

当，即时，，

∴当时，有最大值．

（3）由，所以是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以，又轴，则，两点关于直线对称，所以，得．

下证．连，则四边形是正方形．     

法一：（i）当点在线段上，在线段上

（与不重合）时，如图1．

 

由对称性，得，

∴ ，

∴ ．

（ii）当点在线段的延长线上，在线段上时，如图2，如图3

∵，     ∴．  

（iii）当点与点重合时，显然．

综合（i）（ii）（iii），．

∴在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形．

 

法二：由，所以是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以，又轴， 则，两点关于直线对称，所以，得．

延长与交于点．

（i）如图4，当点在线段上（与不重合）时，

∵四边形是正方形，       

∴四边形和四边形都是矩形，和都是等腰直角三角形．

∴．  

又∵，        ∴，    

 ∴，

∴，

又∵，

∴．

  ∴．

（ii）当点与点重合时，显然．            

（iii）在线段的延长线上时，如图5， 

∵，∠1=∠2

 ∴

综合（i）（ii）（iii），．

∴在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形． 

 

法三：由，所以是等腰直角三角形，若在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形，则，所以，又轴，

 则，O两点关于直线对称，所以，得．     

连，∵，，，

∴，

．

∴，∴．

∴在上存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形．