Question

在线段AB上存在一点C，满足AC：CB=CB：AB=k．
（1）求k的值．
（2）如果三条线段a、b、c满足a：b=b：c=k，问这三条线段能否构成三角形，如果能，请指出三角形的形状；如果不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据黄金分割的定义即可求出k的值；
（2）根据a：b=b：c=k，可得a+b=c，再根据三角形三边关系即可求解．

解答：解：（1）因为AC：CB=CB：AB=k，不妨设AB=1，则
CB=k，AC=k²．
又∵AC+BC=AB，
∴k²+k=1，
∴k=

-1± 5

2

．
又因为k＞0，
∴k=

5 -1

2

．…（4分）

（2）因为a：b=b：c=k，
所以b=kc=

5 -1

2

c，a=kb=(

5 -1

2

)2c=

3- 5

2

c，
∴a+b=c．
所以线段a、b、c不能构成三角形．…（8分）

点评：考查了黄金分割的定义和三角形三边关系，本题计算需要仔细．