Question

如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，

（1）求证：AC²=AB•AD；

（2）求证：CE∥AD；

（3）若AD=4，AB=6，求的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．

分析：（1）由AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，可证得△ADC∽△ACB，然后由相似三角形的对应边成比例，证得AC²=AB•AD；

（2）由E为AB的中点，根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，即可证得CE=AB=AE，继而可证得∠DAC=∠ECA，得到CE∥AD；

（3）易证得△AFD∽△CFE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得的值．

解答：（1）证明：∵AC平分∠DAB，

∴∠DAC=∠CAB，

∵∠ADC=∠ACB=90°，

∴△ADC∽△ACB，

∴AD：AC=AC：AB，

∴AC²=AB•AD；

（2）证明：∵E为AB的中点，

∴CE=AB=AE，

∴∠EAC=∠ECA，

∵∠DAC=∠CAB，

∴∠DAC=∠ECA，

∴CE∥AD；

（3）解：∵CE∥AD，

∴△AFD∽△CFE，

∴AD：CE=AF：CF，

∵CE=AB，

∴CE=×6=3，

∵AD=4，

∴，

∴．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．