Question

如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y ＝，点C的坐标为(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上． 

(1) 写出点M的坐标；

(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时．

① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；

② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1∶2时，求t的值．

Answer 1

(1)因为AB＝OC＝ 4，A、B关于y轴对称，所以点A的横坐标为2．将x＝2代入y＝，得y＝2．所以点M的坐标为（0，2）．

(2) ① 如图2，过点Q作QH ^ x轴，设垂足为H，则HQ＝y，HP＝x– t ．

因为CM//PQ，所以∠QPH＝∠MCO．因此tan∠QPH＝tan∠MCO，即．所以．整理，得．

如图3，当P与C重合时，，解方程，得．

如图4，当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x＝± 2．

因此自变量x的取值范围是，且x¹± 2的所有实数．

           

图2                       图3                     图4

②因为sin∠QPH＝sin∠MCO，所以，即．

当时，．解方程，得（如图5）．此时．

当时，．解方程，得．

如图6，当时，；如图6，当时，．

        

图5                    图6                            图7