Question

【题目】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点A在x轴上，与y轴的交点B（0，-1），且b=-4ac。

（1）求点A的坐标；

（2）求抛物线的解析式

（3）在抛物线上是否存在一点C，使以BC为直径的圆经过抛物线的顶点A？若不存在请说明理由；若存在，求出点C的坐标，并求出此时圆的圆心点Ｐ的坐标。

Answer 1

【答案】（1）A（－2，0）；（2）＝－－－１；（3）点C存在，点Ｃ的坐标为（－10，－16）或（－2，0），点Ｐ的坐标为（－5，－ ）或（－1，－ ）．

【解析】试题分析：

（1）把点B（0，-1）代入解析式可解得： ，代入可得，由点A是抛物线顶点，∴其横坐标为，再由点A在横轴上得到其坐标为： ；

（2）把点A代入解析式可得： ，结合（1）中得到的可解得，从而可得到解析式为；

（3）如图，由题意可设符合条件的点C的坐标为，作CD⊥x轴于点D，CF⊥y轴于点F，然后可在Rt△ADC、Rt△BCF和Rt△AOB中利用勾股定理把AC2、BC2和AB2分别用含“x”的式子表达出来；由点A在以BC为直径的圆上，可得∠BAC=90°，从而可由勾股定理建立方程解出“x”的值，就可得到点C的坐标了，最后利用线段的中点坐标公式就可以求出圆心P的坐标.

试题解析：

（１）把B（0，－1）坐标

代入＝＋＋中，得＝－1,

由＝－４，得＝４，

∵A为抛物线的顶点，∴其横坐标为＝－，

∴＝－２，即点A的坐标为A（－2，0）；

（２）把点A的坐标（－2，0）代入抛物线解析式中，

可得，

把＝4代入上式，得＝－，

∴＝－1，

∴抛物线的解析式为： ＝－－－１；

（３）点C存在．

设符合题意的点Ｃ坐标为，过点C作CD⊥x轴于点D，作CF⊥y轴于点F，则在Rt△ADC、Rt△BCF和Rt△AOB中，由勾股定理分别可得： ， ， ∵点A在以BC为直径的圆上，

∴∠BAC=90°，

∴，

即： =5+，

解得： ，

∴ C的坐标为或；

因为点P是以BC为直径的圆的圆心，点B的坐标为，

∴由线段中点坐标公式可得：①当点C的坐标为时，点P的坐标为： ；②当点C的坐标为时，点P的坐标为： .