Question

如图，正方形OABC的顶点O在坐标原点，且OA和AB边所在的直线的解析式分别为：y=

3

4

x和y=-

3

4

x+

25

3

．D、E分别为边OC和AB的中点，P为OA边上一动点（点P与点O不重合），连接DE和CP，其交点为Q．
（1）求证：点Q为△COP的外心；
（2）求正方形OABC的边长；
（3）当⊙Q与AB相切时，求点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）要证点Q为△COP的外心，需证QC=QP=QO，而△COP中，DQ为中位线，则即可得证；
（2）由OA和AB边的解析式求出A点坐标，由两点之间坐标公式求出OA的长，即正方形边长；
（3）当⊙Q与AB相切时，作出⊙Q，由切线和割线的关系，求出P点坐标．

解答：（1）证明：∵D、E分别为正方形OABC中OC、AB的中点，
∴DE∥OA．
∴Q也是CP的中点．
又∵CP是Rt△COP的斜边，
∴点Q为△COP的外心．

（2）解：由方程组

y= 3 4 x y=- 3 4 x+ 25 3

解得

x= 50 9 y= 25 6

，
∴点A的坐标为（

50

9

，

25

6

）．
过点A作AF⊥Ox轴，垂足为点F．
∴OF=

50

9

，AF=

25

6

．
由勾股定理，得OA=

( 50 9 )2+( 25 6 )2

=

125

18

．
∴正方形OABC的边长为

125

18

．

（3）解：如图，当△COP的外接圆⊙Q与AB相切时，
∵圆心Q在直线DE上，DE⊥AB，
∴E为⊙Q与AB相切的切点．
又∵AE和APO分别是⊙Q的切线与割线，
∴AE²=AP•AO．
∵OA=

125

18

，AE=

1

2

OA，
∴AP=

1

4

OA=

125

72

，
∴当⊙Q与AB相切时，OP=

125

18

-

125

72

=

125

24

，
作PH⊥Ox轴，垂足为H．
∵PH∥AF，∴

OP

OA

=

OH

OF

=

PH

AF

∴OH=

OP•OF

OA

=

25

6

，
PH=

OP•AF

OA

=

25

8

∴点P的坐标为（

25

6

，

25

8

）．

点评：本题考查的问题较为复杂，是一次函数和几何知识相结合的问题，同学们要注意几何知识的熟练掌握．