Question

【题目】如图， 是⊙ 的直径， 为⊙ 的弦，过点 作 ⊥ ，交 的延长线于点 ．点 在 上，且 ．

（1）求证：直线 是⊙ 的切线；
（2）若 ， ，求 的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连结OB．

∵OA=OB，∴∠A=∠OBA，

又∵BC=PC，

∴∠P=∠CBP，

∵OP⊥AD，

∴∠A+∠P=90°，

∴∠OBA+∠CBP=90°，

∴∠OBC=180°﹣（∠OBA+∠CBP）=90°，

∵点B在⊙O上，

∴直线BC是⊙O的切线，

（2）解：如图，

连结DB．

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD=90°，

∴Rt△ABD∽Rt△AOP，

∴ ，即 ，AP=9，

∴BP=AP﹣BA=9﹣2=7．

【解析】（1）由OA=OB，得到∠A=∠OBA，又BC=PC，得到∠P=∠CBP，由OP⊥AD和三角形内角和定理，求出∠OBC=90°，得到直线BC是⊙O的切线；（2）由AD是⊙O的直径，得到两个直角三角形Rt△ABD∽Rt△AOP，得到比例，求出AP的值，得到BP=AP﹣BA的值.
【考点精析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的相关知识点，需要掌握相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等）的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方才能正确解答此题．