Question

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：
①∠BOC=90°+

1

2

∠A； 
②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；
③设OD=m，AE+AF=n，则S_△AEF=

1

2

mn；
④EF是△ABC的中位线．其中正确的结论是

 

．

Answer 1

分析：由在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，根据角平分线的性质与内角和定理，即可求得①正确；
由EF∥BC，与角平分线的性质，即可证得△OBE与△OCF是等腰三角形，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系，即可证得②正确；
利用角平分线的性质与三角形的面积的求解方法，即可证得③正确．

解答：解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠OBC=

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2

∠ABC，∠OCB=

1

2

∠ACB，
∵∠ABC+∠ACB+∠A=180°，
∴∠OBC+∠OCB=90°-

1

2

∠A，
∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=90°+

1

2

∠A，故①正确；
∵EF∥BC，
∴∠EOB=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∵∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，
∴∠ABO=∠EOB，∠ACO=∠OCF，
∴BE=EO，FC=OF，
∴EF=EO+FO=BE+CF，∴以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切，故②正确；
连接AO，过点O作OM⊥BC于M，过点O作ON⊥AB于N，
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴OD=OM=ON=m，
∴S_△AEF=S_△AOE+S_△AOF=

1

2

AE•ON+

1

2

AF•OD=

1

2

OD•（AE+AF）=

1

2

mn，故③正确．
∵无法确定E，F是中点，故④错误．
故答案为：①②③．

点评：此题考查了圆与圆的位置关系，角平分线的性质，平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．