Question

如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°．翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E．若AD=2，BC=8，则BE的长是

 

，CD：DE的值是

 

．

Answer 1

分析：首先作辅助线：过点A作AG⊥BC于G；根据折叠的性质，易得BE=DE，∠DEB=∠DEC=90°，易证四边形AGED是矩形，△ABG≌△DCE，即可求得BE的长；又由勾股定理，即可求得CD的长，即得CD：DE的值．

解答：解：过点A作AG⊥BC于G，
∴∠AGC=∠AGB=90°，
由翻折变换的性质可知，
∵BE=DE，∠EDB=∠DBE=45°，
∴∠DEB=∠DEC=90°，
∴△DEC为直角三角形，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∴AG=DE，∠ADE=90°，
在Rt△ABG与Rt△DCE中，

AB=CD AG=DE

∴Rt△ABG≌Rt△DCE（HL），四边形AGED是矩形，
∴BG=CE，AD=GE，
∴EC=BG=

1

2

（BC-GE）=

1

2

（BC-AD）=3，
∴BE=DE=5；
∴根据勾股定理得：CD=

DE2+CE2

=

52+32

=

34

，
∴CD：DE的值是

34

：5．

点评：此题是折叠问题，解题时要注意折叠前后的图形全等．此题考查了等腰梯形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识．注意作梯形的两条高是梯形题目中的常见辅助线．