Question

如图①，分别以AE、BE为边在AB的同侧作等边△ADE和等边△BCE，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N．
（1）判断四边形PQMN的形状，并说明你的理由；
（2）如图②，将△BCE绕着点E顺时针旋转，其它条件不变，判断四边形PQMN的形状，并说明你的理由．

Answer 1

分析：（1）易证∴△AEC≌△DEB得AC=DB，根据AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，可证PQ=MN=

1

2

AC，PQ∥MN∥AC，四边形PQMN为平行四边形，邻边相等的平行四边形可以判定为菱形；
（2）易证∴△AEC≌△DEB得AC=DB，根据AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，可证PQ=MN=

1

2

AC，PQ∥MN∥AC，四边形PQMN为平行四边形，邻边相等的平行四边形可以判定为菱形．

解答：解：
（1）四边形PQMN为菱形．
证明：连接AC、BD，
∵AE=DE，∠AEC=∠DEB，CE=BE，
∴△AEC≌△DEB，
∴AC=DB，
∵AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，
∴PQ=MN=

1

2

AC，PQ∥MN∥AC，
∴四边形PQMN为平行四边形，
同理MQ=

1

2

BD，
∴MQ=PQ，
∴四边形PQMN为菱形；

（2）四边形PQMN仍为菱形．
证明：连接AC、BD，
∵AE=DE，∠AEC=∠DEB，CE=BE，
∴△AEC≌△DEB，
∴AC=DB，
∵AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，
∴PQ=MN=

1

2

AC，PQ∥MN∥AC，
∴四边形PQMN为平行四边形，
同理MQ=

1

2

BD，
∴MQ=PQ，
∴四边形PQMN为菱形．

点评：本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应边相等的性质，菱形的判定，平行四边形的判定，本题中求证AC=BD是解题的关键．