Question

如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BDA=90°，∠CBE=30°，∠CEB=45°，AE=4EC，BC=2，则CD的长为________．

Answer 1

分析：利用等腰直角三角形的性质得出EH=CH=BC=1，则CE=CH=．在等腰直角△ADE中，根据勾股定理可以求得线段DE的长度，然后再在直角△DCH中，利用勾股定理来求线段CD的长度．
解答：解：如图，过点C作CH⊥BD于点H．
∵∠CBE=30°，BC=2，
∴CH=BC=1，
又∵∠CEB=45°，
∴EH=CH=1．则CE=．
∵AE=4EC=4．
在直角△ADE中，∠EDA=90°，∠AED=∠CEB=45°，则AD=DE=AE=4．
∴DH=DE+EH=5，
∴在直角△DCH中，根据勾股定理得到CD===．
故填：．
点评：本题考查了勾股定理、等腰直角三角形以及含30度角的直角三角形．根据题意，作出图中的辅助线是解题的难点．