Question

【题目】如图，BC是半⊙O的直径，点P是半圆弧的中点，点A是弧BP的中点，AD⊥BC于D，连结AB、PB、AC，BP分别与AD、AC相交于点E、F．

（1）求证：AE=BE；

（2）判断BE与EF是否相等吗，并说明理由；

（3）小李通过操作发现CF=2AB，请问小李的发现是否正确？若正确，请说明理由；若不正确，请写出CF与AB正确的关系式．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）BE=EF，理由见解析；（3）小李的发现是正确的，理由见解析

【解析】

（1）如图1，连接AP，由BC是半⊙O的直径，AD⊥BC于D，得到∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，于是得到∠ACB=∠BAD，根据圆周角定理得到∠P=∠ACB=∠ABP，即可求出结论；

（2）根据圆周角定理求出∠ABE=∠BAE，求出AE=BE，求出∠CAD=∠AFB，求出AE=EF，即可得出答案；

（3）根据全等三角形的性质和判定求出BG=CF，AB=AG，即可得出答案．

（1）如图1，连接AP，

∵BC是半⊙O的直径，

∴∠BAC=90°，

∵AD⊥BC于D，

∴∠ADB=90°，

∴∠ACB+∠ABC=∠BAD+∠ABD=90°，

∴∠ACB=∠BAD，

∵点A是弧BP的中点，

∴∠P=∠ACB=∠ABP，

∴∠ABE=∠BAE，

∴AE=BE；

（2）BE=EF，

理由是：∵BC是直径，AD⊥BC，

∴∠BAC=∠ADC=90°，

∴∠BAD=∠ACB，

∵A为弧BP中点，

∴∠ABP=∠ACB，

∴∠BAD=∠ABP，

∴BE=AE，∠FAD=∠AFB，

∴EF=AE，

∴BE=EF；

（3）小李的发现是正确的，

理由是：如图2，延长BA、CP，两线交于G，

∵P为半圆弧的中点，A是弧BP的中点，

∴∠PCF=∠GBP，∠CPF=∠BPG=90°，BP=PC，

在△PCF和△PBG中，

，

∴△PCF≌△PBG（ASA），

∴CF=BG，

∵BC为直径，

∴∠BAC=90°，

∵A为弧BP中点，

∴∠GCA=∠BCA，

在△BAC和△GAC中，

∴△BAC≌△GAC（ASA），

∴AG=AB=BG，

∴CF=2AB．