Question

已知正方形ABCD中，AB=5，E是直线BC上的一点，连接AE，过点E作EF⊥AE，交直线CD于点F．
（1）当E点在BC边上运动时，设线段BE的长为x，线段CF的长为y，
①求y关于x的函数解析式及其定义域；
②根据①中所得y关于x的函数图象，求当BE的长为何值时，线段CF最长，并求此时CF的长；
（2）当CF的长为

6

5

时，求tan∠EAF的值．

Answer 1

分析：（1）①由题意易得△CEF∽△BAE，根据对应边成比例，可得y关于x的函数解析式，根据BC的长确定定义域即可；
②用配方法求得二次函数的最值即可；
（2）因为tan∠EAF=EF：AE，则由①的函数解析式求得BE的值，由相似三角形对应边对应成比例，即可求得EF：AE=CF：BE．

解答：解：（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°．
又∵∠CEA=∠CEF+∠AEF，∠CEA=∠BAE+∠B，
∴∠CEF=∠BAE．（1分）
又∵∠B=∠C=90°，
∴△CEF∽△BAE（1分）
∴

CF

BE

=

CE

AB

，
∴

y

x

=

5-x

5

，
∴y=-

1

5

x2+x（0＜x＜5）；（2分）
②y=-

1

5

x2+x=-

1

5

(x-

5

2

)2+

5

4

（1分）
根据函数图象可知，抛物线y=-

1

5

(x-

5

2

)2+

5

4

，
开口向下，抛物线的顶点坐标是它的最高点、且x=

5

2

在函数的定义域内．
所以当BE的长为

5

2

时，CF的长最大为

5

4

（2分）

（2）若E在边BC上，CF=y=

6

5

，y=-

1

5

x2+x
∴-

1

5

x2+x-

6

5

=0，
解得x₁=2，x₂=3，
当BE=2时，tan∠EAF=

3

5

；
当BE=3，时tan∠EAF=

2

5

．
若E在CB延长线上时，同理可得△CEF∽△BAE，
∴

CF

BE

=

CE

AB

，即

y

x

=

5+x

5

，
∴y=

1

5

x²+x，
∵CF=y=

6

5

，

1

5

x2+x-

6

5

=0，
解得：x₁=1，x₂=-6（舍去），
当BE=1时，tan∠EAF=

6

5

．
当E点可在BC的延长线上，CE=1，
tan∠EAF=

1

5

．

点评：此题综合考查了相似三角形的判定及性质的应用、二次函数的最值求法、直角三角形中锐角函数值的求法等知识点．