Question

【题目】如图1，点、分别是边长为的等边边、上的动点，点从点向点运动，点从点向点运动，它们同时出发，且它们的速度都为，运动的时间为.

（1）当时，求的度数；

（2）当为何值时，是直角三角形？

（3）如图2，若点、在运动到终点后继续在射线、上运动，直线、交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数.

Answer 1

【答案】（1）（2）或（3）不变;

【解析】

（1）利用等边三角形的性质可证明△APC≌△BQA，则可求得∠BAQ＝∠ACP，再利用三角形外角的性质可证得∠CMQ＝60°；

（2）可用t分别表示出BP和BQ，分∠BPQ＝90°和∠BPQ＝90°两种情况，分别利用直角三角形的性质可得到关于t的方程，则可求得t的值；

（3）同（1）可证得△PBC≌△QCA，再利用三角形外角的性质可求得∠CMQ＝120°．

（1）∵在等边三角形中，，

又由条件得，

∴，

∴，

∴.

（2）由题可知：，

①当时，

∵，

∴

∴，

得，；

②当时，

∵，

∴

∴，得，；

∴当第秒或第秒时，为直角三角形.

（3）不变.

∵在等边三角形中，，，

∴，

又AP=BQ，

∴，

∴，

∴

又∵，

∴