Question

【题目】证明：同弧所对的圆周角等于它所对圆心角度数的一半．

Answer 1

【答案】证明见解析.

【解析】

根据圆心的位置分三种情形分别证明即可．

证明：①如图（1），当点O在∠BAC的一边上时，

∵OA＝OC，

∴∠A＝∠C，

∵∠BOC＝∠A+∠C，

∴∠BAC＝∠BOC；

②如图（2）当圆心O在∠BAC的内部时，延长BO交⊙O于点D，连接CD，则

∠D＝∠A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），

∵OC＝OD，

∴∠D＝∠OCD，

∵∠BOC＝∠D+∠OCD（三角形的一个外角等于与它不相等的两个内角的和），

∴∠BOC＝2∠A，

即∠BAC＝∠BOC．

③如图（3），当圆心O在∠BAC的外部时，延长BO交⊙O于点E，连接CE，则

∠E＝∠A（同弧或等弧所对的圆周角都相等），

∵OC＝OE，

∴∠E＝∠OCE，

∵∠BOC＝∠E+∠OCE（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），

∴∠BOC＝2∠A，

即∠BAC＝∠BOC．