Question

如图，已知抛物线与x轴交于点A(-2,0),B(4,0)，与y轴交于点C(0,)．

【小题1】求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
【小题2】设直线CD交x轴于点E，过点B作x轴的垂线，交直线CD于点F，在直线CD的上方，y轴及y轴的右侧的平面内找一点G，使以点G、F、C为顶点的三角形与△COE相似，请直接写出符合要求的点G的坐标；
【小题3】如图，抛物线的对称轴与x轴的交点M，过点M作一条直线交∠ADB于T,N两点，①当∠DNT=90°时，直接写出  的值；
②当直线TN绕点M旋转时，
试说明: △DNT的面积S_△DNT=;
并猜想 :的值是否是定值?说明理由.

Answer 1

【小题1】y=   ，顶点D的坐标(1, )
【小题2】
【小题3】是定值解析:
解：抛物线与X轴交于点A(-2,0),B(4,0),与Y轴交于点C(0，），
故可设抛物线解析式为y=a(x+2)(x-4) （设一般式也可）
则=a(0+2)(0-4)          ∴a=
抛物线的解析式为：y= (x+2)(x-4)，即y=
化为顶点式：y=       
∴顶点D的坐标(1, )                                         2分
(2)            6分
（3）①                                                7分
② i．是定值
理由是:作NH⊥DT于点H，
又∵抛物线是轴对称图形,DM是对称轴，
∴DA=DB，
∵tan∠DAB=
∴∠DAB=60°，
∴△DAB是等边三角形，
∴∠ADB=60°，
∴S_△DNT=DT·NH= DT·DN·sin60°= DT·DN             9分
ii.方法1：（面积法）
作NH⊥DT于H， MM₁⊥DT于M₁，MM₂⊥DN于M₂，
∴NH= DN·sin60°= DN,
又∵△DAB是等边三角形，且DM⊥AB于M，
∴∠TDM=∠NDM=30°,
∴MM₁ = MM₂= DM·sin30°= DM,
∵S_△DNT= DT·DN
∵S_△DTM+ S_△DNM = DT·MM₁+ DN·MM₂
= DT·DMsin30°+ DN·DMsin30
=
∵S_△DNT=S_△DTM+ S_△DNM
∴ DT·DN=
∴DT·DN=3
∴                               12分
方法2：（相似三角形的知识）
作NN₁⊥DM于N₁，TT₁⊥DM于T₁，
又∵△DAB是等边三角形，且DM⊥AB于M，
∴∠TDM=∠NDM=30°,
∵∠DN₁N=∠TT₁D=90°，
∴△DN₁N∽△D T₁T
∴
又∵∠TMT₁=∠NMN₁，
∵∠NN₁M=∠TT₁D=90°，
∴△NN₁M∽△TT₁M
∴
∴==
∴
∴                                    12分