Question

3、已知实数z、y、z满足x+y=5及z²=xy+y-9，则x+2y+3z=

8

．

Answer 1

分析：先将两个已知等式改写成（x+1）+y=6，（x+1）•y=z²+9，由一元二次方程根与系数的关系，可知x+1，y是t²-6t+z²+9=0的两个实根，则根据判别式△≥0及平方的非负性求出z的值，再解一元二次方程求出它的两根，得到x，y的值，最后将x，y，z的值代入计算，即可求出x+2y+3z的值．

解答：解：∵x+y=5，z²=xy+y-9，
∴（x+1）+y=6，（x+1）•y=z²+9，
∴x+1，y是t²-6t+z²+9=0的两个实根．
∵方程有实数解，
∴△=（-6）²-4（z²+9）=-4z²≥0，
∴4z²≤0，
∴z²≤0，
又∵z²≥0，
∴z=0．
解方程t²-6t+9=0，得x+1=3，y=3，
∴x=2，y=3．
∴x+2y+3z=2+2×3+3×0=8．
故答案为8．

点评：本题主要考查了一元二次方程的解法，根的判别式（△=b²-4ac）与方程的根的对应关系，根与系数的关系，平方的非负性及代数式求值的方法，综合性较强，有一定难度．解题关键在于能够通过观察将两个已知等式改写，从而发现x+1，y是方程t²-6t+z²+9=0的两个实根．