Question

如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，对角线AC、BD相交于O，折叠梯形ABCD，使点B与点D重合，EF为折痕，交BD于H，且DF⊥BC，DF交AC于G，下列结论：①△BFD为等腰直角三角形；②DE平分∠ADB；③EF∥AC；④S_梯形ABCD=

1

2

AC•BD；⑤AD+CF=DF．其中正确的结论是（　　）

A．①③⑤

B．①②③

C．②④⑤

D．①③④⑤

Answer 1

分析：根据等腰梯形及折叠的性质对各个选项进行分析，然后再进行判断即可．

解答：解：由折叠的性质知：EF垂直平分BD；
∴EF⊥BD，BF=DF；
又∵DF⊥BF，
∴△BDF是等腰直角三角形；故①正确；
∴∠DBF=45°；
易证得△DBC≌△ACB，得∠ACB=∠DBC=45°；
∴∠BOC=90°；
∴EF∥AC；故③正确；
过A作AM⊥BC，则BM=FC；
∴DF=BF=BM+HF=AD+FC；故⑤正确；
若②成立，则∠ADE=∠BDA，∠ADE=∠ABD；
由折叠的性质知：∠ABD=∠EDB，
∴∠ADE=∠BDE，即DE平分∠ADB；
由于没有条件能直接证明DE是∠ADB的平分线，故②不一定成立；
又∴ABCD是等腰梯形，它的对角线是AC、BD，
∴S_梯形ABCD=

1

2

AC•BD；故④正确．
故选D．

点评：此题主要考查的是等腰梯形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定等知识；是一道知识的综合，是中考常见的题型．