题目内容

已知二次函数y=x²+qx+p的图象与x轴交于不同的两点A、B，顶点为C，且△ABC的面积S≤1．
（1）求q²-4p的取值范围；
（2）若p，q分别为一个两位数的十位与个位数字，求出所有这样的两位数 $数学公式$ ．

（1）设A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁≠x₂），则x₁，x₂是方程x²+qx+p=0的两个不同的实根．
有x₁+x₂=-q，x₁x₂=p，q²-4p＞0，
∵点C的纵坐标y_C= $\text{[math]}$
∴S= $\text{[math]}$ |x₁-x₂|•|y_C|= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ •| $\text{[math]}$ |≤1，
即（q²-4p）³≤64，
q²-4p≤4，
∴0＜q²-4p≤4；

（2）由（1）知，q²-4p=1，2，3，4．
∵q²被4除余数为0或1，
∴q²-4p被4除余数也为0或1．
从而q²-4p=1，4．这两个方程中符合题意的整数解有 $\text{[math]}$ ．故所求两位数 $\text{[math]}$ 为23，65，34，86．
分析：（1）△ABC的面积=AB×点C的纵坐标的绝对值÷2，代入即可求得所求的范围；
（2）根据（1）的范围找到相应的整数值即可．
点评：主要考查了二次函数的图象与x轴的两个交点横坐标和一元二次方程两根之间的关系，用公式法求顶点坐标，在直角坐标系求面积等知识．