Question

如图，已知直线l的函数表达式为y=-

4

3

x+8，且l与x轴，y轴分别交于A，B两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，设点P、Q移动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，△APQ是以PQ为底的等腰三角形？
（2）求出点P、Q的坐标；（用含t的式子表达）
（3）当t为何值时，△APQ的面积是△ABO面积的

1

5

？

Answer 1

分析：（1）若△APQ是以PQ为底的等腰三角形，那么AQ=AP时，由解析式可得A（6，0），B（0，8），再利用勾股定理得AB=10，然后可以把AQ和AP用t表示，因此得到关于t的方程，解方程即可；
（2）如图，过Q点分别向x轴，y轴引垂线，垂足分别是M，N，设Q（x，y）由题意可知BQ=2t，AP=t，利用△BQN∽△QMA∽△BOA的对应边成比例就可以用t分别表示x、y，也就求出了点P、Q的坐标；
（3）根据（1）（2）知道，△APQ的面积=

1

2

AP×QM，△AOB的面积=

1

2

×6×8=24，因此可以得到关于t的方程，解方程即可解决问题．

解答：解：（1）当AQ=AP时，是以PQ为底的等腰三角形，
∵直线l的函数表达式为y=-

4

3

x+8，且l与x轴，y轴分别交于A，B两点，
∴A（6，0），B（0，8），
∴AB=10，
∴AQ=10-2t，AP=t
即10-2t=t，
∴t=

10

3

（秒），
当t=

10

3

时，是以PQ为底的等腰三角形；

（2）过Q点分别向x轴，y轴引垂线，垂足分别是M，N，
∴NQ∥OA，QM∥OB，
∴△BNQ∽△QMA∽△BOA，
设Q（x，y）
∴BQ=2t，AP=t
而△BQN∽△QMA∽△BOA，
∴

BQ

QN

=

AB

OA

，

QA

QM

=

AB

BO

，
∴

2t

x

=

10

6

，

10-2t

y

=

10

8

，
∴x=

6

5

t，y=

4

5

(10-2t)
Q，P的坐标分别是[

6

5

t，

4

5

(10-2t)]，（6-t，0）；

（3）∵△APQ的面积=

1

2

AP×QM
△AOB的面积=

1

2

×6×8=24
∴

1

2

t×

4

5

(10-2t)=

1

5

×24
解得，t₁=2，t₂=3
∴当t₁=2秒或，t₂=3秒时，△APQ的面积是△ABO面积的

1

5

．

点评：本题综合考查了一次函数与几何知识的应用，题中运用平行线的性质、直线的解析式以及直角三角形等知识求出线段的长是解题的关键．