Question

如图，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，且对角线AC⊥BD，OE⊥BC于E，求证：OE=AD．

Answer 1

证明：
连接CO并延长交⊙O于P，连接BP、AP，
∵CP是直径，
∴∠PBC=∠PAC=90°，
∵OE⊥BC，OE过圆心O，
∴BE=CE，
∵PO=OC，
∴OE=BP，
∵∠PAC=90°，
∴PA⊥AC，
∵BD⊥AC，
∴PA∥BD，
∴弧BP=弧AD（平行弦所夹的弧相等）
∴BP=AD，
即OE=BP=AD．
分析：连接CO并延长交⊙O于P，连接AP、BP，由垂径定理得点E是BC的中点，OE是△BCP的中位线，OE=BP，求出AP∥BD，利用圆周角定理得到弧PB=弧AD，得出AD=BP，从而得到OE=AD．
点评：本题利用了直径对的圆周角是直角，圆周角定理，三角形的中位线的性质求解．