Question

已知△ABC中，∠A=70°，BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线．
（1）如图1，求∠P的度数；
（2）过点P作EF∥BC与边AB、AC分别交于点E、点F（如图2），判断线段BE、EF、CF之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线，
∴∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD，
∴∠P=∠PCD-∠PBD=∠ACD-∠ABC=（∠ACD-∠ABC）=∠A=×70°=35°；

（2）BE=EF+CF．
理由：∵BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线，
∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCD，
∵EF∥BC，
∴∠EPB=∠PBD，∠EPC=∠PCD，
∴∠ABP=∠EPB，∠ACP=∠EPC，
∴BE=PE，CF=PF，
∵PE=EF+PF，
∴BE=EF+CF．
分析：（1）BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线，可得∠PBC=∠ABC，∠PCD=∠ACD，然后由三角形外角的性质求得∠P=∠A；
（2）由BP是∠ABC的平分线，CP是∠ACD的平分线与EF∥BC，易证得△PEB与△PFC是等腰三角形，继而得到线段BE、EF、CF之间的数量关系．
点评：此题考查了角平分线的定义、平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．