Question

已知与是反比例函数图象上的两个点．

（1）求的值；

（2）若点，则在反比例函数图象上是否存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）由，得，因此．

（2）如图1，作轴，为垂足，则，，，因此．

由于点与点的横坐标相同，因此轴，从而．

当为底时，由于过点且平行于的直线与双曲线只有一个公共点，

故不符题意．

当为底时，过点作的平行线，交双曲线于点，

过点分别作轴，轴的平行线，交于点．

由于，设，则，，

由点，得点．

因此

解之得（舍去），因此点．

此时，与的长度不等，故四边形是梯形．

如图2，当为底时，过点作的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为．

由于，因此，从而．作轴，为垂足，

则，设，则，

由点，得点，

因此

解之得（舍去），因此点．

此时，与的长度不相等，故四边形是梯形．

如图3，当过点作的平行线，与双曲线在第三象限内的交点为时，

同理可得，点，四边形是梯形．

综上所述，函数图象上存在点，使得以四点为顶点的四边形为梯形，点的坐标为：或或．