Question

已知Rt△ABC,∠ACB=90°,AC=BC=4,点O是AB中点，点P、Q分别从点A、C出发，沿AC、CB以每秒1个单位的速度运动，到达点C、B后停止。连结PQ、点D是PQ中点，连结CD并延长交AB于点E.

（1）       试说明：△POQ是等腰直角三角形；

（2）       设点P、Q运动的时间为t秒，试用含t的代数式来表示△CPQ的面积S，并求出

S的最大值；

（3）       如图2，点P在运动过程中，连结EP、EQ，问四边形PEQC是什么四边形，并说明理由；

（4）       求点D运动的路径长（直接写出结果）.

 

               

Answer 1

 (1)、证明：连接CO，则：CO⊥AB  ∠BCO=∠A=45° CO=AO=1/2AB
                  在△AOP和△COQ中

                  AP=CQ ，∠A=∠BCO，AO=CO           

  ∴△AOP≌△COQ   (SAS)

  ∴OP=OQ    ∴∠AOP=∠COQ　

∴∠POQ=∠COQ+∠COP =∠AOP+∠COP=∠AOC =90°　     

∴△ POQ是等腰直角三角形（3分）

(2)、S=CQ×CP =t(4-t) =t²+2t = (t-2)²+2

当t=2时，S取得最大值，最大值S=2 （3分）

(3)、四边形PEQC是矩形
证明：连接OD

    ∵点D是PQ中点

∴CD=PD=DQ=PQ

  OD=PD=DQ=PQ

∴CD=OD

∴∠DCO=∠DOC

∵∠CEO+∠DCO=90°

  ∠DOE+∠DOC=90°

∴∠CEO=∠DOE

∴DE=DO

∴DE=CD

∵PD=DQ

∴四边形PEQC是平行四边形

  又∠ACB=90°  ∴四边形PEQC是矩形（3分）

(4)、由DO=DC可知：点D在线段OC的垂直平分线上，其运动路径为CO垂直平分线与AC、BC交点间线段

    点D运动的路径长=AB=（3分）