题目内容

已知关于m的一元二次方程2x²+mx-1=0．
（1）判定方程根的情况；
（2）设m为整数，方程的两个根都大于-1且小于 $数学公式$ ，当方程的两个根均为有理数时，求m的值．

解：（1）△=m²-4×2×（-1）
=m²+8，
∵m²≥0，
∴m²+8＞0，即△＞0，
∴方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程两根分别为x₁，x₂，则x₁+x₂=- $\text{[math]}$ ，x₁•x₂=- $\text{[math]}$ ，
∵-1＜x₁＜ $\text{[math]}$ ，-1＜x₂＜ $\text{[math]}$ ，
∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁- $\text{[math]}$ ＜0，x₂- $\text{[math]}$ ＜0，
∴（x₁+1）•（x₂+1）＞0，（x₁- $\text{[math]}$ ）（x₂- $\text{[math]}$ ）＞0，
∴- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ m+1＞0，- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＞0，
∴- $\text{[math]}$ ＜m＜1，
∵m为整数，方程的两个根均为有理数时，
∴△=m²+8为完全平方数，
∴m=-1．
分析：（1）先计算出△=m²-4×2×（-1）=m²+8，利用m²≥0得到△＞0，然后根据根的判别式的意义判断根的情况；
（2）设方程两根分别为x₁，x₂，根据根与系数的关系得到- $\text{[math]}$ ＜m＜1，而方程的两个根均为有理数时，m为整数，易得m=-1．
点评：本题考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b²-4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的根与系数的关系．